a , b , c sabit birer gerçel (reel) sayı ve a = 0 olmak üzere;
a x2 + b x + c = 0
biçimindeki eşitliklere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
İkinci derece denklemin köklerinin varlığı araştırılırken;
Δ = b2 – 4ac
ifadesine bakılır. Bu değere ikinci derece denklemin DİSKRİMİNANTI (Delta) denir.
Şimdi diskriminantın durumlarını inceleyelim.
1. D > 0 ise birbirinden farklı iki kök vardır.
Bu kökler;
x1,2=–b∓Δ√2ax1,2=–b∓Δ2a
2. D = 0 ise birbirine eşit iki kök vardır.
Bu kökler;
x1=x2=–b2ax1=x2=–b2a
3. Δ < 0 ise denklemin reel sayılarda
çözümü yoktur.
Örnek:
3x2-10x+3=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
a=3 , b= -10 , c=3 ve
Δ=b2-4ac eşitliğinden;
Δ=(-10)2-4.3.3=100-36=64 bulunur.
Δ>0 olduğundan iki kök vardır. Bu kökler;
x1,2=–b∓Δ√2a=10∓64√2.3=10∓86x1,2=–b∓Δ2a=10∓642.3=10∓86
2.DERECE DENKLEME DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLER
Bu tür denklemlerde değişken değiştirerek denklem düzenlenir. Konuyu örneklerle izah edelim.
Örnek:
x4-5x2+4=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
x2=u dönüşümü yapılırsa denklem,
u2-5u+4=0 haline dönüşür.
u2-5u+4=0 Þ (u-4)(u-1)=0
Þ u=4 ve u=1 olur.
Öyleyse; x2=4 ve x2=1 olacağından
x=± 2 ve x=± 1 bulunur.
Ç={-2,-1,1,2} ‘dir.
Örnek:
(x2-5x)2 -2 (x2-5x) -24=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
x2-5x=u dönüşümü yapılırsa;
u2 -2u -24=0 olur ki;
Þ (u-6)(u+4)=0
Þ u=6 ve u=-4 bulunur.
Öyleyse;
x2-5x=6 ve x2-5x=-4 olacağından
x2-5x-6=0 Þ (x-6)(x+1)=0
Þ x=6 ve x=-1 olur.
x2-5x+4=0 Þ (x-4)(x-1)=0
Þ x=4 ve x=1 olur.
Ç={-1,1,4,6} ‘dir.
Örnek:
4m+2m-6=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
2m=u dönüşümü yapılırsa denklem,
u2+u-6=0 haline dönüşür.
u2+u-6=0 Þ (u+3)(u-2)=0
Þ u=-3 ve u=2 olur.
Öyleyse; 2m=-3 Þ çözüm yoktur.
ve 2m=2 Þ m=1 olacağından
Ç={1} ‘dir.
2.DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ VE
KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR
ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin kökleri, x1 ve x2 olmak üzere;
x1+x2=–bax1⋅x2=cax1+x2=–bax1⋅x2=ca
Örnek:
x2 – 6x +8 = 0 denkleminin kökler toplamını bulunuz.
Çözüm:
x1+x2= – b /a olduğundan
x1+x2= 6 bulunur.
Örnek:
-3x2 – 8x +1 = 0 denkleminin kökler çarpımını bulunuz.
Çözüm:
x1.x2= c /a olduğundan
x1.x2= -1 /3 bulunur.
3.DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ VE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR
ax3 + bx2 +cx +d = 0 üçüncü dereceden denkleminin kökleri, x1, x2 ve x3 olmak üzere;
x1+x2+x3=–bax1x2+x2x3+x1x3=cax1.x2.x3=–dax1+x2+x3=–bax1x2+x2x3+x1x3=cax1.x2.x3=–da
KÖKLERİ VERİLEN BİR DENKLEMİN KURULUŞU
ikinci dereceden bir denkleminin kökleri,
x1 ve x2 olmak üzere, denklem;
x2 – (x1+x2)+x1.x2=0 biçimindedir.
Örnek:
Kökleri -2 ve 3 olan ikinci derece denklemi bulunuz.
Çözüm:
x1+x2= (-2)+3=1
x1+x2= (-2).3=-6 bulunur.
x2 -(x1+x2)+x1.x2=0
x2 -(1)x+(-6)=0
x2 – x – 6 = 0 bulunur.
