Modern (Sembolik) Mantik
Mantik, geçerli çikarimlar yapmak için kural ve ilkeler saptar. Çikarimlarin geçerliligi denetlemeler araciligiyla yapilir.
Klasik mantik geçerli çikarimlar için kurallar koymustur. Aristoteles, gerçege ulastiran tek yöntemi tümdengelim olarak saptar.
Modern mantik, klasik mantik gibi yalnizca tümdengelimle (kiyasla) ugrasmamis, mantigin alanini genisleterek her türlü geçerli çikarimla ilgilenmistir.
Modern mantik önermeler mantigi ve niceleme mantigi olmak üzere baslica iki alana ayrilir.
Önermeler Mantigi : Matematik üçgenin kenarlari için a,b,c yüksekligi için h, alani için s sembollerini kullanir ve üçgenlerin alani için, s= ½.a.h formülüne ulasir.
Modern mantik da, önermelerini p,q,r,s,t,v gibi sembollerle gösterir.
“Ali okula gitti.” yerine “p”; “Tas agirdir.” yerine “q” ; “Tebesir beyazdir.” yerine “r” gibi semboller kullanir.
Matematik, +,-,X, :, = gibi semboller kullanir. Modern mantik, baglaçlari, önerme eklemeleri denilen mantik degismezleri ile sembollestirir. Önermeler mantigin ana baliklari sunlardir :
• Önerme Eklemleri : Önermeleri birbirine baglayan baglaçlar ve önermeleri olumsuzlastiran eklere önerme eklemleri denir.
Modern mantikta bes temel önerme eklemi vardir.
• Degilleme Eklemi (~) : Degilleme eklemi “~” sembolü ile gösterilir. Isim cümlelerinde “degil”, fiil cümlelerinde “…me”, “…ma” karsiligi olarak kullanilir.
“degil” ve “…me” , “…ma” olumsuzluk eklerinin kullanildigi tüm cümlelerde “~” sembolü kullanilir.
“Ali okula gitti”, “p”
“Ali okula gitmedi.” , “~p”
“Tas agirdir.”, “q”
“Tas agir degildir.”, “~q”
Kural : Önermeler sembollestirilirken ;
Ayni önermelerin yerine ayni sembollerin, farkli önermelerin yerine farkli sembollerin kullanilmasina,
Önermede geçen “degil”, “…me”, “…ma” gibi olumsuzluk bildiren eklerin yerine mutlaka degilleme ekinin (~) kullanilmasina dikkat edilmelidir.
• Tümel Evetleme Eklemi ( Ù ) : Tümel evetleme eklemi “ Ù ” sembolü ile gösterilir “ve” anlami veren tüm baglaçlarin karsiliginda “ Ù ” sembolü kullanilir.
“Ali okula gitti” “p”
“Ali derse girdi” “q”
“Ali okula gitti ve derse girdi” “p Ù q”
“Ali ne okula gitti ne derse girdi” “~p Ù ~q”
“Ali’nin okula giiti ve derse girdigi dogru degildir.” ~(p Ù q)“
• Tikel Evetleme Eklemi ( Ú ) : Tikel evetleme eklemi “ Ú ” sembolü ile gösterilir. “Veya” anlami veren tüm baglaçlarin karsiligi olarak “ Ú ” sembolü kullanilir.
“Vaya”, “Yahut”, “ya da” baglaçlarinin tümünün karsiliginda tikel evetleme eklemi “ Ú ” kullanilir.
“Ali okula gitti” “p”
“Ali maça gitti” “q”
“Ali okula gitti veya maça gitti.” “p Ú q”
“Ali okula gitmedi veya maça gitmedi.” “~p Ú ~q”
“Ali’nin okula gitmedigi veya maça gitmedigi dogru degildir.” “~(~p Ú ~q)”
• Kosul Eklemi ( ? ) : Kosul eklemi “ ? ” sembolü ile gösterilir. “ise” anlami veren tüm baglaçlarin karsiliginda “ ? ” sembolü kullanilir.
“Zaman”, “ise, “…se”, “…sa”, “…ce”, “için ki”, “yeter ki” gibi kosul bildiren tüm baglaçlarin karsiliginda kosul eklemi ” ? ” kullanilir.
“Kar yagar”, “p”
“Hava soguk olur” , “q”
“Kar yagarsa kava soguk olur.” “p ? q”
• Karsilikli Kosul Eklemi ( Û ) : Karsilikli kosul eklemi ” Û ” sembolü ile gösterilir. “Ancak ve ancak” anlami veren tüm baglaçlar karsiliginda “ Û ” sembolü kullanilir.
“Su, normal kosullarda 100 ° ‘de isinir.” “p”
“Su kaynar.” “q”
“Su ancak ve ancak normal kosullarda 100 ° ‘de kaynar.” , “p Û q”
• Çikarim : Verilen önermelerden zihnin sonuç çikarmasina çikarim denir. Çikarimda verilen önermelere öncül, öncüllerden zihnin zorunlu olarak çikardigi önermeye ise sonuç önermesi denir.
Çikarimda, sonuç önermesinin basinda “o halde”, “öyleyse”, “bu nedenle” ifadeleri bulunur. ”O halde” ve yerine geçen deyislerin karsiligi olarak “ ” sembolü kullanilir.
Her insan ölümlüdür. (p)
Ali insandir. (q)
( ) Ali ölümlüdür. ( r )
çikarimi
p,q r olarak sembollestirilir.
• Basit ve Bilesik Önermeler : Önermeler mantiginda, önerme eklemi kullanilmayan önermelere basit önerme, önerme eklemleri yardimiyla kurulan önermelere bilesik önerme denir.
Basit ve bilesik önermelerle ilgili üç baslik incelenecektir :
• Ana Eklem Ana Bilesenler : Bir bilesik önermeyi olusturan önermelere ana bilesen, ana bilesenleri birbirine baglayan ekleme ise ana eklem denir.
• Yorumlama Amaciyla Sembollestirme : Basit bir önerme ad ve yüklemden olusur. Bilinen adlar, “a”,”b”,”c” gibi sembollerle, yüklemler ise “F”, “G”, “H” gibi sembollerle gösterilir.
“Tebesir beyazdir.” Gibi bir önerme “p” olarak sembollestirilebilecegi gibi,
Tebesir beyazdir .
a F “Fa” olarak da sembollestirilebilir.
Yüklemin ad ile sembollestirilmesiyle önermelerin ifade edilmesi, yorumlama amaci ile sembollestirmedir.
• Dogruluk Çizelgeleri : Iki degerli mantigin “üçüncü halin imkansizligi” ilkesine göre, bir önerme, “dogru” (D) ya da “yanlis” (Y) iki tür dogruluk degeri alir.
Bilesik önermelerin dogruluk degerleri degilleme eklemine göre ve önerme eklemlerine göre biçimlenir ve bu tablolardan yararlanarak bilesik önermelerin dogruluk degerleri bulunur.
• Denetlemeler : Bu bölümde iki denetleme türü ile denetleme kurallari incelenecektir.
• Dogruluk Çizelgeleri ile Denetlemeler : Dogruluk çizelgeleri ile denetlemelerde üç tür denetleme vardir. Bu bölümde önermelerin tutarlilik ve geçerlilik denetlemeleri ile esdegerligi incelenecektir.
Tutarlilik Denetlemeleri : Önermelerin tutarliliklari, tekil önermelerin tutarliligi ve önermelerin birlikte tutarliligi olmak üzere iki yoldan denetlenir.
Bir Önermenin Tutarliligi : Bir önermenin tutarli olmasi için dogruluk çizelgesinde en az bir yorumunun dogru (D) olmasi gerekir.
Örnek: p?(pVq) önermesinin tutarliligini denetle?
p | q | pVq | p?(pVq) |
D D Y Y | D Y D Y | D D D Y | D D Y D |
“Önerme tutarlidir.”
Önermelerin Birlikte Tutarliligi : Dogruluk çizelgesinde en az bir kere birlikte dogru (D) degeri alan
önermeler birlikte tutarlidir.
Örnek: p?q, ~p?q, p?q önermelerinin birbirleriyle tutarli olup olmadigini denetle?
p | q | ~p | p?q | ~p?q | p?q |
D D Y Y | D Y D Y | Y Y D D | D Y Y Y | D D D D | D Y Y D |
“Önermeler tutarlidir.”
Geçerlilik Denetlemeleri : Geçerlilik denetlemeleri tek bir önermenin geçerliligini ve çikarimlarin
geçerliligini içerir.
Bir önermenin geçerliligi : Dogruluk çizelgesinde tüm yorumlari D olan önerme geçerlidir.
Örnek: (pVq)V(p?q) önermesinin geçerli olup olmadigini denetle?
p | q | (pVq) | (p?q) | ~p?q(pVq)V(p?q) |
D D Y Y | D Y D Y | D D D Y | D Y D D | D D D D |
“Önerme geçerlidir.”
Çikarimlarin geçerliligi : Bir çikarimin geçerli olmasi dogru öncüllerden yanlis sonucun
çikmamasidir. Çikarimlarin geçerliligi denetlenirken sonuç önermesi degillenir.
Sonuç önermesinin degillenmesi ile öncüller birlikte tutarsiz ise çikarim geçerli,
Sonuç önermesinin degillenmesi ile öncüller birlikte tutarli ise çikarim geçersizdir.
Önermelerin Esdegerligi : Dogruluk çizelgesinde bütün yorumlarin dogruluk degeri ayni olan önermeler esdeger (denk) dir.
Örnek: ~p?q , pVq önermelerinin denk olup olmadigini denetle?
“Önermeler denktir.”
Çözümleyici Çizelgeleri ile Denetlemeler : Çözümleyici çizelgelerle yapilan denetlemeler bes baslik altinda toplanabilir.
Bir Önermenin Tutarliligi : Çözümleyici çizelgelerle yapilan denetlemelerde bir önermenin tutarliligi, tümel ve tikel evetleme eklemlerinin çözümleme kurallarini içerir.
Tümel Evetleme Ekleminin Çözümleme Kurali : Tümel evetleme eklemiyle yapilan bir bilesik önermenin tutarliligi denetlenirken ana bilesenler alt alta yazilarak anahtar açilir. Anahtarin içinde yer alan çözülmüs önermelerin (p, ~p gibi) en az birinin bile karsiti varsa, önerme tutarsiz; hiçbirinin karsiti yoksa, önerme tutarlidir.
UYARI : Tutarsiz önermelerin çözümleme yolunun altina yol kapali anlaminda ( X ) isareti konulur.
Tikel Evetleme Ekleminin Çözümleme Kurali : Tikel evetleme eklemiyle yapilan bir bilesik önermenin tutarliligi denetlenirken ana bilesen sayisi kadar çatal açilir. Her iki çatalin altina bir ana bilesen yazilir.
Her bir çatalin altindaki önermenin (bilesenin) karsiti yoksa önerme tutarsizdir.
UYARI : Yalnizca tikel evetleme eklemi ile yapilan önermeler her kosulda tutarlidir.
Önermelerin Birlikte Tutarliligi : Çözümleyici çizelge ile önermelerin birlikte tutarliligi denetlenirken tümel ve tikel evetleme eklemlerin çözümleme kurallari uygulanir.
UYARI : Ù ‘nin Ú ‘ye göre islem önceligi oldugunu unutmayalim.
Bir Önermenin Geçerliligi : Bir önermenin geçerliligi çözümleyici çizelge ile denetlenirken, önce önermenin degillemesi alinir. Degillemesi tutarsiz olan önerme geçerli, degillemesi tutarli olan önerme geçersizdir.
Tüm yorumlari Y olan önerme tutarsizdir.
O halde, degillemesi tutarsiz olan önerme her kosulda geçerlidir.
Çikarimlarin Geçerliligi : Çikarimlarin geçerliligini denetlerken, sonuç önermesini degilleyerek öncüllerle birlikte tutarli olup olmadigini denetledigimiz dogruluk çizelgesi ile denetlemeleri görmüstük.
Önermelerin Esdegerliligi : Çözümleyici çizelge ile önermelerin esdegerligi denetlenirken, esdegerligi arastiran önermeler arasina karsilikli kosul eklemi ( Û ) konur.
Elde edilen önerme geçerli ise önermeler esdegerdir.
• Denetleme Kurallari :
Bir önermenin tutarli olmasi için dogruluk çizelgesinde en az bir kere D degeri almasi gerekir.
Bir önermenin tutarsiz olmasi için dogruluk çizelgesindeki tüm yorumlarin (sütunun) Y olmasi gerekir.
Önermelerin birlikte tutarli olmasi için dogruluk çizelgesinde en az bir kere birlikte D degeri almalari gerekir.
Bir önermenin geçerli olmasi için ;
Dogruluk çizelgesindeki tüm yorumlarin (sütunun) D’lerden olusmasi gerekir.
Degillemesinin tutarsiz olmasi gerekir.
Bir çikarimin geçerli olmasi için dogru öncüllerden yanlis sonuç çikmamasi gerekir. Bunun için de sonuç önermesinin degillemesi ile öncüllerin birlikte tutarsiz olmasi gerekir.
Önermelerin esdeger olmasi için;
Önermelerin dogruluk çizelgesindeki tüm yorumlarin ayni olmasi gerekir.
Esdegerligi istenen önermeler arasina Û konduktan sonra elde edilen önermenin geçerli olmasi gerekir.
• Tutarlilik, Geçerlilik, Esdegerlik Iliskileri :
Tutarli önermeler geçerli de geçersiz de olabilir.
Tutarsiz önermeler mutlaka geçersizdir.
Geçerli önermeler mutlaka tutarlidir.
Geçersiz önermeler tutarli da tutarsiz da olabilir.
Tüm geçerli önermeler esdegerdir.
Tüm tutarsiz önermeler esdegerdir.
Niceleme Mantigi
Önermelerin niceleyicilerini de (her, bazi) sembollestirip niceleyicileri de dikkate alarak denetlemeler yapan mantik alani niceleme mantigidir. Niceleme mantigina yüklemler mantigi da denir. Yüklemler mantigi önermeleri iç yapilari ile sembollestirir.
Niceleme mantiginin konulari sunlardir :
Niceleyiciler : Niceleme mantiginda karsimiza iki yeni sembol çikar. Tümel niceleyici ( ” ) = “her” anlamina gelir. Önermeler mantigindaki tümel evetleme eklemini ( Ù ) karsilar.
Tikel niceleyici ( $ ) =”bazi” anlamina gelir. Önermeler mantigindaki tikel evetleme eklemini ( Ú ) karsilar.
Niceleme mantiginda, önermeler mantigindan farkli olarak yüklemler (F, B, H) ve bilinmeyen adlar (X, Y, Z) olarak sembollestirilir.
Bilinen adlar yerine “a”, “b”, “c”, bilinmeyen adlar yerine “x”, “y”, “z” sembolleri kullanilir.
Niceleme mantiginda,
Bütün insanlar ölümlüdür. ” x(Fx ? Gx)
” F G
O halde Ali ölümlüdür. (Ga)
a G
” x (Fx ? Gx) Fa Ga biçiminde sembollestirilir.
Niceleme mantiginda olumsuz önermelerin ifadesi de asagidaki gibidir.
Ali insan ölümlü degildir .
” F ~G
önermesi
” x(Fx ? ~Gx) biçiminde sembollestirilir.
Bazi insanlar ölümlü degildir .
$ F ~G
önermesi
$ x(Fx Ù ~Gx) biçiminde sembollestirilir.
Açik Önermeler : Içinde “x”, “y”, “z” gibi bilinmeyen adlarin geçtigi önermelere açik önerme denir.
Gx, ” xFx, $ x(Fx Ù Gx), x+y=0, x>8 gibi önermeler açik önermedir.
“ ” x ölümlüdür.” “x>8” gibi önermelerin dogruluk degerlerini bilemeyiz.
Fx ? Gx(x insansa, x ölümlüdür.) açik önermesi x degiskeniyle p(x), q(x) biçiminde gösterilir. “x” in yerine “a” sabiti konuldugunda, durum p(a), q(a) biçimine dönüsür.
Fx ? Gx önermesi özellenir ve,
Fa ? Ga önermesi elde edilir. (Fa ? Ga önermesi evrensel bir önerme degildir.)
Böylece önerme dogruluk degeri olan önermeye dönüsür.
Açik önermeler Evrensel kümeye ( E ) göre de dogruluk degeri alirlar.
Örnegin,
X için (x ölümlüdür.) ” xFx
Önermesinin evrensel kümesi
E: {insan, at, tas} olsun. E: {a,b,c}
Evrensel kümedeki degerler x’in yerine tek tek konur.
Insan ölümlüdür Ù At ölümlüdür Ù Tas ölümlüdür .
D D Y
D Ù D Ù Y º Y dogruluk degeri alir.
” xFx önermesinin E:{a,b,c} evrensel kümesindeki açilimi da,
Fa Ù Fb Ù Fc olur.
Tümel niceleyici bir önermenin bir evrensel kümede gerçeklesmesi için (D degerli olmasi) evrensel kümedeki tüm nesnelerce dogrulanmasi gerekir. Ayni önermenin bir evrensel kümede gerçeklesmemesi için (Y degerli olmasi) evrensel kümedeki en az bir nesne tarafindan yanlislanmasi gerekir.
Tikel niceleyici bir önermenin bir evrensel kümede gerçeklesmesi için (D degerli olmasi), evrensel kümedeki en az bir nesne tarafindan dogrulanmasi gerekir.
Ayni önermenin bir evrensel kümede gerçeklesmemesi için (Y degeri almasi için), evrensel kümedeki tüm nesnelerce yanlislanmasi gerekir.
Bir açik önerme bir önerme eklemi ile dogruluk degeri olan bir önermeye baglanirsa açik önerme özelligini kaybeder.
Niceleme Mantiginda Önerme Çesitleri : Niceleme mantiginda tekil ve genel olmak üzere iki tür önerme vardir.
Tekil Önerme : Içinde niceleyici geçmeyen ( ” , $ bulunmayan) önerme tekil önermedir.
“p”, “q”, “Fa”, “Gab”, “p Ù q”, “Fa Ú Ga”, “~p”, “~Fa” gibi tekil önermeler basit ve bilesik olmak üzere ikiye ayrilir.
Basit Tekil Önerme : Önerme eklemi (“ Ù ”,” Ú ”,” ? ”,” Û ”,”~”) almayan ve içinde niceleyici geçmeyen önermeler basit tekil önermedir. (“p”, “q”,”Fa”,”Gab” gibi).
Bilesik Tekil Önerme : Önerme eklemi alan ve içinde niceleyici geçmeyen önermeler bilesik tekil önermedir. (“p ? q”, “Fa Ú Gb”,”~p”,”~Fa” gibi)
Genel Önerme : ” xFx, $ xGx, ~ ” xFx, $ (Fx ? Gx) gibi, içinde en az bir niceleyicinin geçtigi önermedir. Genel önermeler de basit genel ve bilesik genel olmak üzere ikiye ayrilir.
Basit Genel Önerme : Niceleyiciyi etkileyen önerme ekleminin bulunmadigi önermeler basit genel önermedir.
Tümel Basit Genel Önerme :Tümel niceleyicisi bulunan ve niceleyicinin önerme eklemi almadigi önermeler tümel basit genel önermedir.
Tikel Basit Genel Önerme : Tikel niceleyicisi bulunan ve niceleyicinin önerme eklemi almadigi önermeler tikel basit genel önermedir.
Bilesik Genel Önerme : Niceleyiciyi etkileyen önerme ekleminin bulundugu önermeler bilesik genel önermedir.
Niceleme Mantiginda Esdegerlik Kurallari :
• ~ ” ~xFx º $ x~Fx
• $ xFx º ” x~Fx önermeleri esdegerdir.
Niceleme Mantiginda Çözümleme Kurallari : Niceleyicilerle kurulan genel önermeler önermede bilinmeyen ad (x,y,z) geçtigi için açik önermedir. Genel önermeler, bilinen bir ada (a,b,c) göre niceleyicilerden arindirilirsa önerme özellenmis olur. Bu nedenle de tümel niceleyicilerde tümel özelleme, tikel niceleyicilerde tikel özelleme kurallari uygulanir.
Tümel Özelleme Kurali : Tümel niceleyici ile yapilan bir önermede bilinmeyen adlarin yerine her zaman bilinen ayni adin kullanilmasina tümel özelleme kurali denir.
Tikel Özelleme Kurali : Tikel niceleyici ile yapilan bir önermede, bilinmeyen adlarin yerine her biri için farkli bir bilinen adin kullanilmasina tikel özelleme kurali denir.
Çok Degerli Mantik
Iki degerli mantiga göre önermeler dogru veya yanlis olmak üzere iki degerden birine sahiptir.Ancak bu durum gelecege yönelik konulari içeren önermeler söz konusu olunca geçerliligini yitirmektedir.Örnegin “Bu yil enflasyon düsecek” önermesi gelecekte olacak bir durum ile ilgilidir.Kesin olarak dogru veya yanlis diyemeyiz.Iste bu durum iki degerli mantigin yetersizligini ortaya koymus ve çok degerli mantigin ortaya çikmasina neden olmustur. Çok degerli mantik içinde özellikle üç degerli mantik önem kazanmistir.
Üç degerli mantikta dogru, yanlis ve belirsizlik olmak üzere üç dogruluk degeri vardir.
Kiplik Mantigi
Kiplik mantigi zorunlu ve olanakli önermeleri kapsayan mantiktir.Kiplik mantiginda zorunlu eklemi ile kurulan önermelere zorunlu önerme, mümkün eklemi ile kurulan önermelere mümkün önerme denir.Zorunlu eklemi ? sembolüyle; mümkün eklemi ? sembolüyle gösterilir.Bu sembollere kiplik degismezleri denir.
Örnek: Tasin sert olmasi zorunludur.= p zorunludur = ? p
Tasin sert olmasi olanaklidir. = p mümkündür = ? p
Özdeslik Mantigi
Bu mantik türü niceleme mantigina benzer ancak niceleme mantigini da içine alan daha kapsamli mantiktir. Özdeslik mantiginda özdes, bir mantik degismezidir ve = sembolüyle gösterilir.Bu mantikta ~ , ? , V, ?, ? eklemleri ve ” , $ niceleme sembollerine ilave olarak = (özdes) sembolü de kullanilir. Bu sembol özdeslik önermesinin öznesi ve yükleminin birbirine esit veya özdes olduklarini gösterir.
Örnek: “Ay, Dünyanin uydusudur.” Önermesinde “Ay”, a sembolü ile ; “Dünyanin uydusu”, b sembolü ile gösterilebilir.Bu durumda “dur” eki, özdeslik (=) degismezi anlamina gelir. Böylece önerme a=b seklinde sembollestirilmis olur.
Varlik Mantigi
Niceleme ve özdeslik mantiklarindan farkli olarak “vardir” mantiksal degismezini kapsayan bir mantiktir.Diger mantik sistemleri yalnizca gerçek dünyaya ait varliklar üzerine önermeler olusturur. Oysa varlik mantigi, hem gerçek dünyada hem de gerçek olmayan dünyalardaki varliklar üzerine önermeler olusturur.Örnegin, “Ingiltere kraliçesi Elizabeth vardir.” Ya da “Agri dagi vardir” gibi önermelerin yani sira “Güzellik tanriçasi Afrodit vardir.” Ya da “Kaf dagi vardir.” Önermeleri de varlik mantiginin konusunu olusturur.
“Vardir” mantiksal degismezi “ E! “ sembolü ile gösterilir.
