FONKSİYONLAR

A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, A nın her elemanını B nin bir ve yalnız bir elemanı ile eşleyen bağıntıya fonksiyon denir. Bu yüzden fonksiyonların iyi anlaşılması için bağıntı konusunun iyi öğrenilmesi gerekir.

x ∈ A ve y ∈ B olmak üzere A’dan B’ye bir fonksiyon f ise:

f : A → B, A →^f B, x → y = f(x) biçiminde gösterilir.

A kümesine f fonksiyonunun tanım kümesi B kümesine de f fonksiyonunun değer kümesidenir.

A tanım kümesinin tüm elemanlarının görüntülerinin oluşturduğu kümeye görüntü kümesidenir ve f(A) ile gösterilir.

Tanıma göre, A dan B ye bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için:

1. A tanım kümesindeki hiç bir elemanın boşta kalmaması
2. A tanım kümesindeki her elemanın B değer kümesinde yalnız bir görüntüsünün olması gerekir.

Fonksiyon Türleri

İçine Fonksiyon

f : A → B fonksiyonunda

f(A) ⊂ B ise f fonksiyonuna içine fonksiyon denir. (Yani B değer kümesinde açıkta eleman varsa buna içine fonksiyon denir.)

Örten Fonksiyon

f : A → B fonksiyonunda f(A) = B ise f fonksiyonuna örten fonksiyon denir.

Birebir Fonksiyon

f : A → B bir fonksiyon olsun.

A tanım kümesinin farklı elemanlarının görüntüleri daima ise, yani A nın farklı elemanları B nin farklı elemanlarıyla eşleniyorsa, f fonksiyonuna bire-bir (1 – 1) fonksiyon denir.

f : A → B fonksiyonunda

1. ” x₁, x₂ ∈ A için x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)  ya da
2. ” x₁, x₂ ∈ A için  f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂ önermelerinden biri doğru is f fonksiyonu bire-bir dir.

Sabit Fonksiyon

f : A → B fonksiyonunda A tanım kümesinin her elemanı B değer kümesinde aynı elemanla eşleşiyorsa, diğer bir deyişle A tanım kümesindeki bütün elemanlarının görüntüleri aynı ise f fonksiyonu sabit fonksiyondur.

Hatırlatma:

f : R → R ve h : R → R fonksiyonlarının grafikleri x-eksenine paralel birer doğru ve g : Z → Z fonksiyonunun grafiğinde; yine x-eksenine paralel hayali bir doğru üzerindeki noktalardan oluşur.

Birim Fonksiyon

f : A → B fonksiyonunda A nın her elemanının görüntüsü yine kendisi oluyorsa, yani “x ∈ A için f(x) = x ise f fonksiyonuna birim fonksiyon denir ve I_A yada I ile gösterilir.

Hatırlatma:

I : R → R, f(x) = x birim fonksiyonunun grafiği birinci açıortay doğrusudur.

Eşit Fonksiyonlar

I : A → A, g : A → B fonksiyonları verilmiş olsun.

“x ∈ A için f(x) = g(x) ise f ve g fonksiyonlara eşit fonksiyonlar denir ve f = g şeklinde gösterilir.

Tek ve Çift Fonksiyonlar

f : R → R, y = f(x) fonksiyonunda,

1. “x ∈ R için f(-x) = f(x) ise f e çift fonksiyon denir.
2. “x ∈ R için f(-x) = -f(x) ise f e tek fonksiyon denir.

Fonksiyonların Toplamı, Farkı, Çarpımı ve Bölümü

f : A → R, g : B → R fonksiyonları için:

A ∩ B ≠ ∅ olsun.

1. f + g : A ∩ B → R; (f + g)(x) = f(x) + g(x) fonksiyonuna f ile g’nin toplamı denir.
2. f – g : A ∩ B → R; (f – g)(x) = f(x) – g(x) fonksiyonuna f ile g’nin farkı denir.
3. f . g : A ∩ B → R; (f . g)(x) = f(x) . g(x) fonksiyonuna f ile g’nin çarpımı denir.
4. g(x) ≠ 0, f / g : A ∩ B → R; (f / g)(x) = f(x) / g(x) fonksiyonuna f’nin g’ye bölümü denir.
5. k ∈ R olmak üzere ; k . f : A → R (k.f)(x) = k . f(x) fonksiyonuna k ile f’nin çarpımı denir.

Bir Fonksiyonun Tersi

f : A → B, y = f(x) fonksiyonu verilmiş olsun.

f^-1 : B → A, x = f^-1(y) bağıntısına, (B den A ya olan bağıntıya) f nin ters fonksiyonu denir.

• f : A → B fonksiyonu bire-bir ve örten ise; f nin tersi olan f^-1 : B → A bağıntısı da fonksiyondur.
• f : A → B fonksiyonu bire-bir ve örten fonksiyon ise; f nin tersi olan f^-1 : B → A bağıntısı da bire-bir ve örten fonksiyondur.
•  f fonksiyonu bire-bir ve örten değilse; f^-1 bağıntısı fonksiyon değildir.

Bileşke Fonksiyon

f : A → B,                 y = f(x)

g : B → C,                z = g(y) olmak üzere

gof : A → C,

(gof)(x) = g(f(x)) fonksiyonuna f ile g’nin bileşke fonksiyonu denir ve gof diye yazılır. (gof : Yazılışı g bileşke f diye okunur. )

Bileşke İşleminin Özellikleri:

• Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur. fog ≠ gof
• Bileşke işleminin değişme özelliği vardır. fo(goh) = (fog)oh
• I birim fonksiyon olmak üzere, foI = lof = f dir.
• fof^-1 = f^-1of = I dir.
• (fog)^-1 = g^-1of^-1 dir.
• (f^-1)^-1 = f dir.

Permütasyon Fonksiyon

A sonlu bir küme olmak üzere f : A → A fonksiyonu bire-bir ve örten ise f fonksiyonuna A’nın bir permütasyonu denir.

Hatırlatma:

s(A) = n ise A nın permütasyonlarının sayısı n! kadardır.

A dan B ye Bağıntı ve Fonksiyon Sayıları

f : A → B fonksiyonunda

s(A) = m, s(B) = n ise;

1. A dan B ye tanımlı fonksiyonların sayısı n^m dir.
2. Bire-bir fonksiyonların sayısı n ≥ m olmak üzere P(n, m) = n! / (n – m)! dir.
3. Sabit fonksiyonların sayısı n dir.
4. A da tanımlanabilecek bire-bir ve örten fonksiyonların sayısı P(m, m) = m! dir.
5. A kümesinde tanımlı bire-bir ve örten olmayan fonksiyonların sayısı m^m – m! dir.
6. A dan B ye fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2^m.n – n^m dir.